随机变量函数的分布 - 老官童鞋gogo的博客

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随机变量函数的分布

2025-03-27

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一、问题描述#

设 $X$ 为随机变量，已知 $X$ 的概率分布， $Y = g(X)$ 是其函数。需要根据 $X$ 的分布求出 $Y$ 的分布。

步骤1：列出 $Y$ 所有可能取值 $\{ y_j = g(x_i) | x_i \in X(\Omega) \}$
步骤2：对每个 $y_j$ ，计算概率： $P(Y=y_j) = \sum_{x_i \in g^{-1}(y_j)} P(X=x_i)$ 其中 $g^{-1}(y_j) = \{ x_i | g(x_i) = y_j \}$

设 $X$ 的分布律为 $P(X=x_i)=p_i$ ，则： $P(Y=y_j) = P\left( \bigcup_{x_i \in g^{-1}(y_j)} \{X=x_i\} \right) = \sum_{x_i \in g^{-1}(y_j)} P(X=x_i)$

设 $g(x)$ 满足：

则密度函数公式：

f_Y(y) = \begin{cases} f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|, & y \in g(\mathbb{R}) \\ 0, & \text{其他} \end{cases}

证明：
设 $g(x)$ 严格递增： $F_Y(y) = P(g(X) \leq y) = P(X \leq h(y)) = F_X(h(y))$ 求导得： $f_Y(y) = f_X(h(y)) \cdot h'(y)$

当 $g(x)$ 严格递减时： $F_Y(y) = P(g(X) \leq y) = P(X \geq h(y)) = 1 - F_X(h(y))$ 求导得： $f_Y(y) = -f_X(h(y)) \cdot h'((y)) = f_X(h(y)) \cdot |h'(y)|$

线性变换： $Y = aX + b$ $f_Y(y) = \frac{1}{|a|}f_X\left( \frac{y-b}{a} \right)$
指数分布：若 $X \sim Exp(\lambda)$ ，则 $Y = kX$ 服从 $Exp(\lambda/k)$
正态分布线性性：若 $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ ，则 $Y = aX + b \sim N(a\mu + b, a^2\sigma^2)$