傅里叶级数推导经典级数和 - 老官童鞋gogo的博客

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傅里叶级数推导经典级数和

2025-04-06

数学

/

高等数学

微积分

一、基本工具：Parseval 等式#

设 $f(x)$ 是 $[-\pi, \pi]$ 上平方可积的函数，其傅里叶级数为：

f(x) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left[a_n \cos(nx) + b_n \sin(nx)\right]

则 Parseval 等式为：

\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 dx = \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left(a_n^2 + b_n^2\right)

二、推导 $\sum \frac{1}{n^2}$ #

1. 设函数 $f(x) = x$ ，定义在 $[-\pi, \pi]$ ，并延拓为奇函数，周期为 $2\pi$ #

该函数是奇函数 ⇒ 傅里叶级数只有正弦项：

f(x) = \sum_{n=1}^{\infty} b_n \sin(nx)

其中系数为：

b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x \sin(nx) dx = \frac{2(-1)^{n+1}}{n}

所以展开式为：

x = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{2(-1)^{n+1}}{n} \sin(nx)

2. 应用 Parseval 等式：#

左边为：

\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x^2 dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}

右边为：

\sum_{n=1}^{\infty} b_n^2 = \sum_{n=1}^{\infty} \left(\frac{2}{n}\right)^2 = 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

令左右相等：

\frac{2\pi^2}{3} = 4 \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}

解得：

\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}

三、推导 $\sum \frac{1}{n^4}$ #

1. 设函数 $f(x) = x^2$ ，定义在 $[-\pi, \pi]$ ，为偶函数，展开为余弦级数#

由于 $x^2$ 是偶函数 ⇒ 只有余弦项：

f(x) = a_0 + \sum_{n=1}^{\infty} a_n \cos(nx)

计算：

常数项：

a_0 = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x^2 dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^3}{3} = \frac{2\pi^2}{3}

余弦系数：

a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^2 \cos(nx) dx

此积分结果为（标准结果）：

a_n = \frac{(-1)^n \cdot 4}{n^2}

所以：

x^2 = \frac{\pi^2}{3} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{4(-1)^n}{n^2} \cos(nx)

2. 应用 Parseval 等式#

左边：

\frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} x^4 dx = \frac{2}{\pi} \int_0^{\pi} x^4 dx = \frac{2}{\pi} \cdot \frac{\pi^5}{5} = \frac{2\pi^4}{5}

右边为：

\frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} a_n^2

代入 $a_0 = \frac{2\pi^2}{3}$ ， $a_n = \frac{4(-1)^n}{n^2}$ ，得：

\frac{(2\pi^2/3)^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{4}{n^2}\right)^2 = \frac{2\pi^4}{5}

化简：

\frac{2\pi^4}{9} + 16 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{2\pi^4}{5}

两边减去 $\frac{2\pi^4}{9}$ ：

16 \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{2\pi^4}{5} - \frac{2\pi^4}{9} = 2\pi^4 \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{9} \right) = 2\pi^4 \cdot \frac{4}{45}

所以：

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^4} = \frac{\pi^4}{90}

四、关于 $\sum \frac{1}{n^3}$ 的说明#

这个结果（即 Apéry 常数）是：

\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{n^3} = \zeta(3) \approx 1.20206...

但不像 $1/n^2$ 和 $1/n^4$ ，它不能由傅里叶级数直接表示出封闭形式，直到1978 年，Roger Apéry 才证明了它是无理数。

所以我们常通过数值方法或更高级的函数（如黎曼 zeta 函数）研究它。

傅里叶级数推导经典级数和

https://www.laoguantx.cn/posts/derivationofclassicalseriessumusingfourierseries/

作者

老官童鞋gogo

发布于

2025-04-06

许可协议

CC BY-NC-SA 4.0

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1. 设函数 f(x)=xf(x) = xf(x)=x，定义在 [−π,π][-\pi, \pi][−π,π]，并延拓为奇函数，周期为 2π2\pi2π#