一、不定积分（Indefinite Integral）#

数学定义：

通俗解释：
找到一个函数，其导数为已知函数 $f(x)$，即反导数。

二、定积分（Definite Integral）#

数学定义：

通俗解释：
表示函数图像与 $x$ 轴之间在 $[a, b]$ 区间的带符号面积或某种累积总量。

三、二重积分（Double Integral）#

数学定义：

通俗解释：
在一个平面区域 $D$ 上对函数 $f(x,y)$ 进行“面积加权求和”，可用于计算面积、体积、质量等。

四、三重积分（Triple Integral）#

数学定义：

通俗解释：
在三维区域 $\Omega$ 内，对函数 $f(x, y, z)$ 进行体积积分，比如求体积、总质量、总能量等。

五、第一类曲线积分（Line Integral of the First Kind）#

数学定义：

设曲线 $C$ 参数化为 $\vec{r}(t) = (x(t), y(t)),\ t \in [a,b]$，则

通俗解释：
沿着曲线 $C$ 累加标量函数 $f(x,y)$ 的值，比如计算弯曲线上的质量或能量总量。

六、第二类曲线积分（Line Integral of the Second Kind）#

数学定义：

设向量场 $\vec{F} = (P(x,y), Q(x,y))$，曲线 $C$ 参数化为 $\vec{r}(t) = (x(t), y(t))$，则

通俗解释：
计算向量场沿曲线 $C$ 所做的“功”或“推力总量”。

七、第一类曲面积分（Surface Integral of the First Kind）#

数学定义：

设曲面 $S$ 可参数化为 $\vec{r}(u,v)$，则

通俗解释：
在曲面上“加总”一个标量场的值，如计算分布在膜面上的质量或热量等。

八、第二类曲面积分（Surface Integral of the Second Kind）#

数学定义：

设 $\vec{F} = (P, Q, R)$，单位法向量为 $\vec{n}$，则

或参数化为：

通俗解释：
表示向量场穿过曲面的通量，如流体穿过曲面、磁场穿过线圈等。