1、曲线坐标系方程#

设空间中有三个变量 $u^1, u^2, u^3$，它们可以唯一地确定空间中一点 $P$。空间直角坐标系下，点 $P$ 的坐标为 $(x, y, z)$。如果存在三元函数：

则称 $u^1, u^2, u^3$ 为空间的曲线坐标，$(u^1, u^2, u^3)$ 为点 $P$ 的曲线坐标。曲线坐标系的坐标方程就是上面这三条方程：

当 $u^2, u^3$ 固定，$u^1$ 变化时，得到一条空间曲线，称为 $u^1$ 坐标曲线。同理，分别固定另外两组变量，$u^2$、$u^3$ 变化时分别得到 $u^2$ 和 $u^3$ 坐标曲线。以 $u^1$ 坐标曲线为例，其切向量为：

其中，$\vec{r}$ 为点 $P$ 的矢径：

一般地，三条坐标曲线的切向量分别为：

切向量 $\vec{a}_i$ 的模称为拉梅系数 $h_i$：

单位基向量定义为：

单位基向量 $\vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3$ 分别沿着 $u^1, u^2, u^3$ 坐标曲线的切向量方向，且模长为 $1$。如果三个单位基向量相互垂直，我们称为正交曲线坐标系。

2、弧段、面元、体积元#

在曲线坐标系中，任意弧段指的是坐标曲线上的一小段曲线。假设我们考虑 $u^1$ 坐标曲线（即 $u^2, u^3$ 固定，$u^1$ 变化），任意取 $u^1$ 的两个值 $u^1$ 和 $u^1 + \mathrm{d}u^1$，此时空间中的点 $P$ 的位置矢量为：

而相邻点 $P'$ 的位置矢量为：

这两点之间的曲线段就称为$u^1$坐标曲线上的任意弧段。同理，也可以定义 $u^2$ 或 $u^3$ 坐标曲线上的任意弧段。设 $u^i$ 为某一坐标曲线的参数，其他两个坐标固定，$\mathrm{d}u^i$ 为参数的微小变化，则对应的空间微元弧段为：

弧段的长度为

对于任意曲线（不一定是坐标曲线），其微元弧长为：

或者记为：

其中

为度规张量。

对于正交曲线坐标系，$g_{ij} = 0$（$i \ne j$），则

考虑 $u^1$ 和 $u^2$ 变化、$u^3$ 固定，形成一小块曲面（称为 $u^1$-$u^2$ 曲面），其面元 $\mathrm{d}\vec{S}$ 的向量形式为：

面元的大小（数量值）为：

如果该坐标系是正交曲线坐标系，即三个基矢互相正交，则：

其中 $h_1, h_2$ 分别为对应坐标的拉梅系数。如果面元是 $u^2$-$u^3$ 平面或 $u^3$-$u^1$ 平面，选取对应的两个坐标即可。

三个坐标同时变化时，微元体积为：

对于正交曲线坐标系，因为三基矢正交，所以

3、梯度、散度、旋度#

梯度 $\nabla f$ 的定义是：

也梯度可表示为：

存在下面两个梯度恒等式：

散度在物理上与通量有关系，对应高斯定理：

其中$\vec{A}$为向量，其散度为：

其中 $A_i$ 是 $\vec{A}$ 在 $\vec{e}_i$ 方向的分量。

旋度在物理上与环量有关系，对应斯托克斯公式：

因此，得到旋度：

4、拉普拉斯算子#

拉普拉斯算子为：