1、电荷密度#

1. 线电荷密度：$\lambda = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}x}$
2. 面电荷密度：$\sigma = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}A}$
3. 体电荷密度：$\rho = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}v}$

2、计算#

例1：均匀带电环对点电荷$q_0$作用的库仑力是什么？

解：计算线密度：

$$\lambda=\frac{q}{2\pi R}$$

然后得出库仑力$F$的微分方程：

$$\mathrm{d}F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0\mathrm{d}q}{r^2}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0\lambda R\mathrm{d}\phi}{(z^2+R^2)}$$

两边积分：（根据对称性，$x,y$方向的力相互抵消）

$$\begin{aligned}F_z&=\int \mathrm{d}F_z\\&=\int \mathrm{d}F\cos\theta\\&=\int\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0\lambda R\mathrm{d}\phi}{(z^2+R^2)}\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}}\\&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0\lambda Rz}{\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\phi\\&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0qz}{\left(z^2+R^2\right)^{3/2}}\end{aligned}$$

特别地，当$z\to \infty$时：

$$F_z\approx\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0q}{z^2}$$

当$z=0$时：

$$F_z=0$$

例2：均匀带电圆盘对点电荷$q_0$作用的库仑力是什么？

可以将均匀带电圆盘看成是无数个均匀带电的同心圆环叠加，使用微积分求解。面电荷密度为：

$$\sigma = \frac{q}{\pi R^2}$$

每一段圆环的带电量：

$$\mathrm{d}q=\sigma \mathrm{d}A=\sigma(2\pi\omega \mathrm{d}\omega)=2\pi\sigma\omega \mathrm{d}\omega$$

得到库仑力的微分方程：（$x,y$方向的库仑力相互抵消）

$$\mathrm{d}F_z=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q_0(2\pi\sigma\omega \mathrm{d}\omega)z}{\left(z^2+\omega^2\right)^{3/2}}$$

两边积分：

$$\begin{aligned}F_z&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}q_02\pi\sigma z\int_0^R\frac{\omega \mathrm{d}\omega}{\left(z^2+\omega^2\right)^{3/2}}\\&=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2q_0q}{R^2}(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+R^2}})\end{aligned}$$

3、电荷守恒#