一、复数的定义及各种表达形式#

2、几何意义#

取平面上的一点作为参照点并记为$O$,过点$O$作相互垂直的两条实数轴，两条数轴都以$O$作为原点， 并具有相同的单位长度。习惯上，我们总是让其中的一条数轴的正向向右，另一条数轴的正向朝上，即构建了一个平面笛卡尔坐标系。

已知复数$z=a+b\mathrm{i}$,这里$a,b\in\mathbb{R}$，如图构造$z$，在平面上的唯一对应点$P$，这里点$P$在由点$O$及横竖两数轴所构成的平面坐标系中的坐标为$(a,b)$.

反之，若已知平面上的点$P$，它在在由$O$及横竖两数轴所构成的平面坐标系中的坐标为$(a,b)$，则存在唯一的复数$z$满足$z=a+b\mathrm{i}$.据此，我们不难获知，复数与上述平面上的点——对应。习惯上，我们称这样的平面为复（数）平面。称水平数轴为实轴，称竖向数轴为虚轴，记为$\mathrm{Re,Im}$. 我们常将复平面上与给定复数$z$对应的点$P$直接标注为$z$ 由于平面坐标系中的点与向径是一一对应的，因此，复平面上的复数也就与向径（有向线段$\overrightarrow{Oz}$）一一对应。

以后，复数、复平面上与之对应的点及向径为同一体，不做区分。

二、共轭复数#

已知复数$z=a+b\boldsymbol{i}$，这里$a,b\in\mathbb{R}$.我们称如下定义的复数： $\bar{z}=a+(-b)\mathrm{i}$ 为复数z的共轭复数。

在复平面上，复数与共轭复数关于实轴对称。

存在运算规律：$|z|^2=z\bar{z}$

三、复数的运算规律#

1. 对于任意复数$z_1, z_2\in \mathbb{C}$，都有：$\overline{z_1+z_2}=\overline{z_1}+\overline{z_2}$,

2. 复数的乘法运算是指任意两个复数的求积过程。两个复数的积如下定义并记号： 对于给定的两个复数 这里$a_1, b_1, a_2, b_2\in \mathbb{R}$. $z_1=a_1+b_1\mathrm{i},\quad z_2=a_2+b_2\mathrm{i}$ 复数$z_1$与$z_2$的积是一个记为$z_1\cdot z_2$ 的新复数： $z_1\cdot z_2=(a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+a_2b_1)\mathrm{i}$ 如同实数运算那样，我们也记$z^2=z\cdot z.$

   依据复数的乘法公式，可得如下重要等式： $i^2=-1$ 事实上， $\mathrm{i}^2=(0+1\mathrm{i})(0+1\mathrm{i})=(0\cdot0-1\cdot1)+(0\cdot1+1\cdot0)\mathrm{i}=-1+0\mathrm{i}=-1.$ $\mathrm{i}^2=-1$ 往往被看成为之所以引入虚数单位的原因：为了解决$z^2+1=0$ 的求解问题 我们也记： $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$

[card title=“为什么要以这种方式学习复数” color=“info”]借助于复数的形式表达，通过定义乘法运算，最后推得$\mathrm{i}^2=-1$，而$\mathrm{i}^2=-1$恰恰是高中数学中学习复数的出发点，也是历史上讨论复数的出发点。而此时不通过这里开始讨论复数，虽然这样比较直观，但是这样存在一个逻辑性上的小问题，$\mathrm{i}^2=-1$是复数与复数的乘法，但是我们这个时候并没有复数的定义及其乘法运算。两种出发点，一个比较直观，是数学的来源，一个是依据数学本身的逻辑关系来产生的一套理论，这两个之间就存在着直观和抽象的相对关系。[/card]

3. 对于任意复数$z_1, z_2\in \mathbb{C}$，都有：$\overline{z_1z_2}=\overline{z_1}\, \overline{z_2}$,

4. 复数的消去律：对于任意复数$z_1, z_2\in \mathbb{C}$，若$z_1 z_2 = 0$，则$z_1=0$或者$z_2=0$.

例1 证明复数的消去律。

**证明：**对于任意复数$z_1,z_2\in\mathbb{C}$，若 $z_1z_2=0$,则： $\mid z_1\mid^2\mid z_2\mid^2=\left(\overline{z_1}z_1\right)\left(z_2\overline{z_2}\right)=\overline{z_1}(z_1z_2)\overline{z_2}=\overline{z_1}\cdot0\cdot\overline{z_2}=0$由于$|z_1|^2,|z_2|^2$均为实数，依实数乘法运算的消去律，我们有$|z_1|^2=0$或$|z_2|^2=0$. 当$|z_1|^2=0$时，依复数模长的计算公式，我们有$\operatorname{Re}(z_1)=\operatorname{Im}(z_1)=0$，故 $z_1=0$. 同理可证，当$|z_2|^2=0$时，$z_2=0$. 综上所述，我们有$z_1=0$ 或$z_2=0$.

5. 若 $z_{1}= a_{1}+ b_{1}\mathrm{i}$，$z_{2}= a_{2}+ b_{2}\mathrm{i}$，这里 $a_{1}, b_{1}, a_{2}, b_{2}\in \mathbb{R}$，且 $a_{2}^{2}+ b_{2}^{2}\neq 0$，则不难知： $z_1\div z_2=\frac{z_1\overline{z_2}}{z_2\overline{z_2}}=\frac{1}{|z_2|^2}z_1\overline{z_2}=\frac{a_1a_2+b_1b_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{a_2b_1-a_1b_2}{a_2^2+b_2^2}\mathrm{i}$
6. 复数的三角不等式：对于任意复数 $z_1,z_2\in\mathbb{C}$，$| z_1+ z_2| \leq | z_1| + | z_2|$.

四、复数乘除法的几何意义#

对于任意复数$z_1,z_2\in\mathbb{C}$,不妨设：

$z_1=|z_1|(\cos\theta_1+\sin\theta_1\mathrm{i}),z_2=|z_2|(\cos\theta_2+\sin\theta_2\mathrm{i})$

这里 $\theta_1,\theta_2$分别是复数$z_1,z_2$ 的辐角。则依复数加法及乘法运算的规律，我们有：

$\begin{aligned}z_{1}z_{2}&=\:|\:z_{1}\:|\:|\:z_{2}\:|\left[\left(\cos\theta_{1}\cos\theta_{2}-\sin\theta_{1}\sin\theta_{2}\right)+\left(\cos\theta_{1}\sin\theta_{2}+\sin\theta_{1}\cos\theta_{2}\right)\mathrm{i}\right]\\&=\:|\:z_{1}\:|\:|\:z_{2}\:|\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\mathrm{i}\right].\end{aligned}$

也就是说，两个复数相乘，在复平面上就是两个复数的模长相乘，辐角相加。

同样地，复数除法的几何意义是在复平面内，商的模等于被除数和除数的模的商，商的辐角等于被除数和除数的辐角的差。

五、复数的欧拉（Euler）公式#

复数的欧拉公式表达式为：

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\theta}=\cos\theta+\sin\theta\mathrm{i}$

若复数$z=|z|(\cos\theta+\sin\theta \mathrm{i})$，则：

$z=|z| e^{i\theta}$

在欧拉公式中，令 $\theta=\pi$并移项，则：

$\mathrm{e}^{\mathrm{i}\pi}+1=0$