不同情况下两列波叠加情况计算

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不同情况下两列波叠加情况计算

2025-06-03

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设两列波的表达式均为：

f_1(x,t) = A_1 \cos(k_1 x + \omega_1 t + \varphi_1)

f_2(x,t) = A_2 \cos(k_2 x + \omega_2 t + \varphi_2)

常见叠加情况如下：

一、同频同波数同相位（完全相同的波）#

f(x,t) = f_1(x,t) + f_2(x,t) = A_1 \cos(kx + \omega t + \varphi) + A_2 \cos(kx + \omega t + \varphi)

直接合并：

f(x,t) = (A_1 + A_2)\cos(kx + \omega t + \varphi)

f(x,t) = A_1 \cos(kx + \omega t + \varphi_1) + A_2 \cos(kx + \omega t + \varphi_2)

利用余弦叠加公式：

A_1 \cos\theta_1 + A_2 \cos\theta_2 = R \cos(\theta + \alpha)

具体推导：

令

\theta = kx + \omega t

则

f(x,t) = A_1 \cos(\theta + \varphi_1) + A_2 \cos(\theta + \varphi_2)

利用复数表示（欧拉公式）：

A_1 \cos(\theta + \varphi_1) + A_2 \cos(\theta + \varphi_2) = \operatorname{Re}\left[ A_1 e^{i(\theta + \varphi_1)} + A_2 e^{i(\theta + \varphi_2)} \right]

合并：

= \operatorname{Re}\left[ (A_1 e^{i\varphi_1} + A_2 e^{i\varphi_2}) e^{i\theta} \right]

设

A_1 e^{i\varphi_1} + A_2 e^{i\varphi_2} = R e^{i\alpha}

所以

f(x,t) = R \cos(\theta + \alpha) = R \cos(kx + \omega t + \alpha)

其中

R = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2 \cos(\varphi_1 - \varphi_2)}

\tan\alpha = \frac{A_1 \sin\varphi_1 + A_2 \sin\varphi_2}{A_1 \cos\varphi_1 + A_2 \cos\varphi_2}

f(x,t) = A_1 \cos(k_1 x + \omega t + \varphi) + A_2 \cos(k_2 x + \omega t + \varphi)

此时不能直接合并为一个余弦，但可用和角公式写成：

利用

\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

令 $A_1 = A_2 = A$ ， $\varphi_1 = \varphi_2 = 0$ ，则

f(x,t) = A \cos(k_1 x + \omega t) + A \cos(k_2 x + \omega t)

= 2A \cos\left(\frac{k_1 x + \omega t + k_2 x + \omega t}{2}\right)\cos\left(\frac{k_1 x + \omega t - (k_2 x + \omega t)}{2}\right)

= 2A \cos\left(\frac{(k_1 + k_2)x}{2} + \omega t\right)\cos\left(\frac{(k_1 - k_2)x}{2}\right)

f(x,t) = A_1 \cos(k x + \omega_1 t + \varphi) + A_2 \cos(k x + \omega_2 t + \varphi)

类似方法：

\cos\alpha + \cos\beta = 2\cos\left(\frac{\alpha+\beta}{2}\right)\cos\left(\frac{\alpha-\beta}{2}\right)

设 $A_1 = A_2 = A$ ， $\varphi_1 = \varphi_2 = 0$ ，则

f(x,t) = A \cos(k x + \omega_1 t) + A \cos(k x + \omega_2 t)

= 2A \cos\left(k x + \frac{\omega_1 + \omega_2}{2} t\right) \cos\left(\frac{\omega_1 - \omega_2}{2} t\right)

一般形式：

f(x,t) = A_1 \cos(k_1 x + \omega_1 t + \varphi_1) + A_2 \cos(k_2 x + \omega_2 t + \varphi_2)

无法简化为单一正弦函数。若 $A_1 = A_2 = A$ 且 $\varphi_1 = \varphi_2 = 0$ ，可用和角公式：

f(x,t) = 2A \cos\left(\frac{(k_1 x + \omega_1 t) + (k_2 x + \omega_2 t)}{2}\right) \cos\left(\frac{(k_1 x + \omega_1 t) - (k_2 x + \omega_2 t)}{2}\right)

= 2A \cos\left(\frac{(k_1 + k_2)x + (\omega_1 + \omega_2)t}{2}\right) \cos\left(\frac{(k_1 - k_2)x + (\omega_1 - \omega_2)t}{2}\right)

不同情况下两列波叠加情况计算

作者

老官童鞋gogo

发布于

2025-06-03

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