步骤 1：定义误差函数#

设 $S_k(x)$ 为傅里叶级数的 $k$ 阶部分和：

定义误差函数：

步骤 2：展开误差的平方积分#

计算误差的平方在区间 $[-\pi, \pi]$ 上的积分：

展开平方项：

步骤 3：计算交叉项 $\int f(x) S_k(x) dx$#

将 $S_k(x)$ 代入交叉项：

分项积分：

根据傅里叶系数的定义：

代入后得到：

步骤 4：计算 $\int S_k(x)^2 dx$#

利用三角函数的正交性：

对 $\sin(nx)$ 同理。展开 $S_k(x)^2$：

由于正交性，交叉项的积分为零。因此：

步骤 5：代入误差公式#

将步骤 3 和步骤 4 的结果代入步骤 2：

化简后：

步骤 6：物理意义与推论#

• Bessel 不等式：由于 $E_k \geq 0$，可得：

  $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx \geq \pi \left( \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{k} (a_n^2 + b_n^2) \right),$$

  说明傅里叶系数的平方和不超过函数的能量。

• Parseval 等式：当 $k \to \infty$ 且傅里叶级数收敛（如 $f(x)$ 连续可微），则 $E_k \to 0$，得：

  $$\int_{-\pi}^{\pi} f(x)^2 dx = \pi \left( \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) \right),$$

  表明函数的总能量等于其所有傅里叶分量的能量之和。

1. 准备工作#

设 $f(x)$ 是一个周期为 $2\pi$ 的函数，且 $f(x)$ 在区间 $[-\pi, \pi]$ 上平方可积，即：

其傅里叶级数为：

其中，傅里叶系数为：

2. Bessel 不等式的推导#

Bessel 不等式描述了傅里叶系数的平方和与函数能量之间的关系。

3. Parseval 等式的推导#

Parseval 等式是 Bessel 不等式的特殊情况，当傅里叶级数收敛到 $f(x)$ 时成立。

4. 总结#

• Bessel 不等式： $$\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx \geq \pi \left( \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) \right)$$
• Parseval 等式（当傅里叶级数收敛时）： $$\int_{-\pi}^{\pi} |f(x)|^2 \, dx = \pi \left( \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^{\infty} (a_n^2 + b_n^2) \right)$$

这两个结果在傅里叶分析中具有重要意义，分别描述了傅里叶系数的能量关系和函数的能量守恒。