方法一：基于欧拉方程的推导#

对于无粘、不可压的理想流体，欧拉方程写为

其中 $\frac{\mathrm{D}}{\mathrm{D}t}$ 为物质导数，$\mathbf{g}$ 为重力加速度向量。对于稳态流动（即各物理量对时间不显含显式变化），沿流线积分可进行如下处理：

1. 沿流线方向考虑变化

   对任意沿流线的微小位移 $\mathrm{d}\mathbf{r}$，考虑点乘 $\mathrm{d}\mathbf{r}$ 后有

   $$\rho\,\mathbf{v} \cdot \nabla\mathbf{v}\, \mathrm{d}s = -\mathbf{v} \cdot \nabla p\, \mathrm{d}s + \rho\, \mathbf{v}\cdot\mathbf{g}\, ds,$$

   其中 $\mathrm{d}s$ 是沿流线的微小弧长。利用流动的无旋性或沿流线分析，可以证明

   $$\mathbf{v} \cdot \nabla \mathbf{v} = \nabla\left(\frac{v^2}{2}\right).$$

2. 将重力势能引入

   重力场满足 $\mathbf{g} = -\nabla\Phi$，并定义重力势能 $\Phi=gz$。代入上式得

   $$\rho \nabla\left(\frac{v^2}{2}\right) = -\nabla p - \rho \nabla\Phi.$$

3. 整理并积分

   将上式除以 $\rho$ 并整理可得

   $$\nabla\left(\frac{v^2}{2}+\frac{p}{\rho}+\Phi\right)=0.$$

   这意味着沿流线上，上述三个量的和为常数，即

   $$\frac{v^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz = \text{常数}.$$

方法二：基于能量守恒的推导#

考虑沿流线的一个流体微团，从能量守恒的角度出发，可以证明流体所受的功转换为动能和重力势能的变化。

1. 对流体微团的功

   考虑一个在微小位移 $\mathrm{d}s$ 内的流体微团，其受到压力的作用做功

   $$\delta W_p = -\frac{\mathrm{d}p}{\rho},$$

   其中 $\mathrm{d}p$ 为压强的微小变化，负号表示由高压区向低压区运动所做的正功。

2. 重力势能的变化

   由重力势能的变化，有

   $$\delta W_g = -g\,\mathrm{d}z,$$

   其中 $\mathrm{d}z$ 为垂直高度的微小变化，负号同样对应于重力做功的方向。

3. 动能的变化

   流体的动能变化为

   $$\mathrm{d}\left(\frac{v^2}{2}\right).$$

4. 能量守恒关系

   对于稳态流动，外力对流体微团所做的总功必然等于动能和势能的变化，总能量守恒有

   $$\mathrm{d}\left(\frac{v^2}{2}\right) = -\frac{\mathrm{d}p}{\rho} - g\,\mathrm{d}z.$$

   将上述等式整理，可得

   $$\mathrm{d}\left(\frac{v^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz\right) = 0.$$

   积分后便得到伯努利方程

   $$\frac{v^2}{2}+\frac{p}{\rho}+gz = \text{常数}.$$

以上两种方法均表明，在无粘、不可压、稳态流动中，沿流线都有

这就是伯努利方程的通解形式。