1、素数的定义与检验#

素数在数中占有异乎寻常的地位，素数的理论初步建立在欧几里得的《几何原本》之中。定义为一个大于$1$的自然数，如果除了$1$和其自身外，不能被其他自然数整除，则称此自然数为素数（质数），否则称为合数。例如：$2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47......$都是素数。

【注】$0$和$1$既不是素数，也不是合数。

检验素数的基本方法：用$2$到$\sqrt{n}$ 之间的所有整数去除$n$，均无法整除，则$n$为素数。

2、素数的性质#

定义：若只有1能同时整除自然数$M$与$N$，即不存在大于$1$的自然数同时整除$M$与$N$, 则称$M$与$N$为互素的（或互质的）。

定理1： 互素的两个自然数是与它们有同比自然数对中最小的。即：设$m,n,p,q$为自然数，如果$\frac pa=\frac mn$,且$p,q$互素，则$p\leq m,q\leq n$.

定理2：（欧几里得引理）若素数$p$整除两自然数之积$ab$(记为$p\mid ab$ ),则$p\mid a$（$p$整除$a$）或$p\mid b$（$p$整除$b$）.

定理3：（裴蜀定理）若$a,b$是整数，且它们的最大公约数$\gcd(a,b)=d$，那么对于任意的整数$x$和$y$，整数$ax+by$必是$d$的倍数。特别地，一定存在整数$x,y$，使$ax+by=d$成立。 推论：$a,b$互素的充分必要条件是存在整数$x,y$使$ax+by=1$

**例1：**求平面上整点(两个坐标皆为整数的点)到直线$y=\frac{5}{3}x+\frac{4}{5}$的距离的最小值。

**解：**由点到直线的距离公式知整点$(m,n)$到$y=\frac53x+\frac45$的距离为，而$\gcd(25,15)=5$由裴蜀定理知$25m-15n$为$5$的倍数，所以当$25m-15n=-10$ 时，$d$取最小值： $d_{\min}=\frac{2}{5\sqrt{34}}=\frac{\sqrt{34}}{85}$

定理4：（算术基本定理）任何一个大于$1$的自然数$N$，如果不是素数，那么$N$可以唯一分解为有限个素数的乘积：$N= p_{1}^{a_{1}} p_{2}^{a_{2}} \cdots p_{n}^{a_{n}}$ ，其中$0<p_1<p_2<\cdots<p_n$为素数，指数$a_i(i=1,2,\cdots,n)$为正整数。例如$12=2^{2}\times3$，$60=2^{2}\times3\times5$，$15246=2\times3^{2}\times7\times11^{2}$等等。

**定理5：**素数有无穷多个。

证明：用反证法。假设素数只有有限多个，设为$k$个：$p_1,p_2,\cdots,p_k$. 记$N=p_1p_2\cdots p_k$，有$N+1>p_i\left(i=1,2,\cdots,k\right)$. 那么： 若$N+1$为素数，则与“素数只有$k$个”矛盾； 若$N+1$为合数 , 则$N+1$可分解为若干个比它小的素数之积，而$N+1$不可能被 $p_{i}( i= 1, 2, \cdots , k)$整 除，所以还存在不同于$p_{i}( i= 1, 2, \cdots , k)$的素数，这又与“素数只有$k$个”这个假设矛盾。 综上可得，素数有无穷多个。

3、孪生素数和哥德巴赫猜想#

相差$2$的两个素数称为孪生素数。例如：$3$和$5$，$11$和$13$，$17$和$19$，$41$和$43$等等。“存在无穷多对孪生素数”这就是著名的孪生素数猜想，至今未得到证明，但数学家们相信这是正确的。

数论是数学的一个重要分支，主要研究整数性质以及和它有关的规律与理论。数论研究中最著名的猜想应该是“哥德巴赫猜想”了。1742年，哥德巴赫给欧拉的信中提出了：“任一大于$2$的偶数都可表示成两个素数之和。“这就是著名的哥德巴赫猜想，我们常常简称为“1+1”。

1、有理数的性质#

1. 有理数四则运算的封闭性：有理数与有理数进行加减乘除运算后还是有理数。

2. 有理数的稠密性：任意两个不同的有理数之间存在无数个有理数。

3. 有理数的可公度性：所谓可公度量，亦称为可通约量，是数学的基本概念之一，指两个同是第三个量的整数倍的量.对于两个量$A$与$B$,若存在第三个量$C$, 使$A=pC,B=qC$同时成立，这里$p,q$为自然数，则称量$A$与量$B$可公度或可通约，且称$C$是A与$B$ 的一个公度，这时称$A$与$B$ 是可公度量或可通约量.若不存在自然数 $p,q$ 与量$C$,使$A=pC,B=qC$ 成立，则称$A$与$B$ 是不可公度或不可通约，这时$A,B$是不可公度量或不可通约量。

   任意两个有理数$r_1$和$r_2$存在公倍数，即$\exists m,n\in Z,mr_1=nr_2$，设$r_1=\frac{m_1}{n1},r_2=\frac{m2}{n2}$，那么有$(m_2n_1)r_1=m_1m_2=(m_1n_2)r_2$

   （可公度性的集合意义）辗转相截：两条线段$a,b$长度为有理数，用 $b$去截$a$，若剩下$c(0<c<b)$，则用$c$去截$b$，若剩下$d(0<d<c)$。则用$d$去截$c\cdots$必可经有限次相截刚好截完。

   设$a=\frac{m_{1}}{n_{1}},b=\frac{m_{2}}{n_{2}}$,则

   $a=m_{1}n_{2}\biggl(\frac{1}{n_{1}n_{2}}\biggr)=m_{1}n_{2}r\\b=m_{2}n_{1}\biggl(\frac{1}{n_{1}n_{2}}\biggr)=m_{2}n_{1}r$

   其中$r=\frac{1}{n_1n_2}$为$a,b$的一个公度。

2、无理数的性质#

1. 正方形的边长与其对角线长不可公度： 如图，设正方形边长为$1$，将边长与对角线辗转相截：在$AC$上截得$AE=AB$，过点$A$作$BF$的垂直平分线。有$\angle ABF\cong\angle AEF$，于是$BF=EF$，接下来即为小正方形$CEFG$的边长$EF$去截其对角线$FC$，这样可以无穷无尽地截下去，永远截不完…

   

2. **定义：**不能表示成两个整数之比的数称为无理数。

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   例2：$\sqrt{2}$是无理数 证明：（反证法）假设$\sqrt2=\frac mn$（$m,n$为互素的正整数），那么有$2n^{2}=m^{2}$，所以$m$是偶数，记$m=2k,k\in Z^+\Rightarrow n^2=2k^2\Rightarrow n$是偶数，与$m,n$互素矛盾。因此$\sqrt{2}$是无理数。

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   **例3：**证明：如果$n$不是完全平方数（等于某整数的平方的正整数），则$\sqrt{n}$为无理数。 证明：（反证法）假设$\sqrt {n}=\frac pq( p, q\text{为互素的正整数})$，那么$nq^2=p^2$. 因为$n$不是完全平方数，所以$\sqrt n=\frac pq$不是整数，存在$k\in Z^+$使得$k<\frac pq<k+1$，即$0<p-kq.<q$. 考察 $p(p-kq)=p^2-kpq=nq^2-kpq=q(nq-kp)$，于是有$\frac{p}{q}=\frac{nq-kp}{p-kq}=\frac{p_1}{q_1}$.其中$q_1=p-kq<q\Rightarrow p_{1}<p$.也就是说可找到正整数 $p_1<p,q_1<q$,使得假设$\frac{p_1}{q_1}=\frac pq;$那么用$p_1,q_1$代替$p,q$可进行以上“操作”，又可以找到正整数$p_2<p_1,q_2<q_1$，使得假设 $\frac {p_1}{q_1}= \frac {p_2}{q_2}\cdot \ldots \ldots$ 这样的“操作”可以一 直进行下去，这是不可能的，因为$p,q$是有限的自然数。矛盾。 从以上例子可以看到，无理数有无穷多个。

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​ 其实，无理数远不止这些$\sqrt n$.有理数与无理数统称为实数，实数布满了整个数轴。