1、原假设（Null Hypothesis, $H_0$）#

.原假设是指在进行假设检验时，最初假定被检验的参数或总体特性在某一特定值或范围内。一般认为原假设是“无效”或“无差异”的假设。例如：

意思是总体均值等于$\mu_0$。

2、备择假设（Alternative Hypothesis, $H_1$ 或 $H_a$）#

备择假设则是在原假设不成立时所接受的假设，通常反映研究者所关注的效应或差异。例如：

1、双侧检验（Two-tailed Test）#

检验的是参数是否不同于某个值，不关心方向性。例如：

2、单侧检验（One-tailed Test）#

检验的是参数是否大于（右侧检验）或小于（左侧检验）某个值。

• 右侧检验（Right-tailed Test）：

  $$\begin{cases} H_0: \mu \leq \mu_0 \\ H_1: \mu > \mu_0 \end{cases}$$

• 左侧检验（Left-tailed Test）：

  $$\begin{cases} H_0: \mu \geq \mu_0 \\ H_1: \mu < \mu_0 \end{cases}$$

1、检验统计量（Test Statistic）#

在假设检验中，根据样本数据构造的一个统计量，用于判断是否拒绝原假设。例如对于正态总体均值的检验，若总体方差已知，检验统计量为：

其中$\overline{X}$为样本均值，$\sigma$为总体标准差，$n$为样本容量。

2、拒绝域（Critical Region, Reject Region）#

拒绝域是指在原假设成立的前提下，检验统计量落入该区域的概率不大于显著性水平$\alpha$的区域。若检验统计量落入拒绝域，则拒绝原假设$H_0$。

• 双侧检验拒绝域（以$Z$检验为例）：

  $$|Z| > Z_{\alpha/2}$$

  其中$Z_{\alpha/2}$为标准正态分布的$1-\alpha/2$分位点。

• 右侧检验拒绝域：

  $$Z > Z_\alpha$$

• 左侧检验拒绝域：

  $$Z < -Z_\alpha$$

1、第一类错误（Type I Error）#

在原假设$H_0$为真时，错误地拒绝了$H_0$。其犯错概率（显著性水平）为$\alpha$。

2、第二类错误（Type II Error）#

在原假设$H_0$为假时，错误地未拒绝$H_0$。其犯错概率为$\beta$。

**检验的效能（Power）**为$1-\beta$，表示在$H_1$为真时正确地拒绝$H_0$的概率。

1、$P$-值的定义#

$P$-值（概率值，p-value）是在原假设$H_0$为真时，观察到的样本统计量值或更极端的结果出现的概率。形式化为：

• 双侧检验： $$\text{p-value} = 2P(Z > |z_{\text{obs}}|)$$
• 右侧检验： $$\text{p-value} = P(Z > z_{\text{obs}})$$
• 左侧检验： $$\text{p-value} = P(Z < z_{\text{obs}})$$

其中$z_{\text{obs}}$为实际观测到的检验统计量值。

2、统计显著性#

给定显著性水平$\alpha$（如$0.05$），若$p$-值小于$\alpha$，则结果被认为是统计学上显著的，即有足够证据拒绝$H_0$。否则，则不能拒绝$H_0$。