(1) 角坐标#

刚体的位置可以由角$\varphi$完全确定，称为角坐标，当刚体转动时，角坐标随时间变化，因此可以表示成时间$t$的单值连续函数：

约定自$z$轴的正端往负端看，从固定面起按逆时针转向计算角$\varphi$，取正值；反之为负。

(2) 角速度#

角$\varphi$对时间的导数，称为刚体的角速度（代数值）以$\omega$表示。故有：

角速度的大小表示刚体在该瞬时转动的快慢，即单位时间内转角的变化。当转角$\varphi$随时间而增大时，$\omega$为正值，反之为负值，这样，角速度的正负号确定了刚体转动的方向。

(3) 角加速度#

角速度$\omega$对时间的导数，称为角加速度（代数值），以$a$代表，故有

它表示单位时间内角速度的变化。

$\alpha$和$\omega$正负相同，则角速度的绝对值随时间而增大，即刚体作加速转动；反之，两者正负不同，则角速度的绝对值随时间而减小，即刚体作减速转动。但减速转动只到$\omega=0$时为止。 刚体由静上开始的转动都是加速转动。

NOTE

其他类似于切向加速度、法向加速度、线速度等的计算方法与定义，与普通物理学相同。

(1) 角速度矢#

沿刚体的转轴$z$画出一个矢量$\omega = \omega k$其中$k$为轴$z$的单位矢$\omega$称为刚体的角速度矢。它的作用线表示出转轴的位置，而它的模则表示出角速度$\omega$的绝对值。$\omega$的指向由右手规则决定。定轴转动刚体的角速度矢$\omega$被认为是滑动矢量，可以从转轴上的任一点画出。

(2) 角加速度矢#

同样，可以用矢量$\alpha = \alpha k$表示刚体的角加速度，它也是滑动矢量，沿转轴$z$画出。它的大小表示角加速度的模，它的指向则决定于$\alpha$的正负。

(1) 速度矢积表示法#

定轴转动刚体内任一点$M$的速度$v$的大小为$| v | = R| \omega |$。由于$R=r\sin\theta$，因而$| v |=R|\omega|=|\omega|r\sin\theta$。

根据矢积的定义，矢积$\omega\times r$的模也等于$|\omega|r\sin\theta$，它的方向也与速度$v$的方向一致，故有矢积表达式：

定轴转动刚体内任一点的速度，可以由刚体的角速度矢与该点的矢径的矢积来表示。

(2) 加速度矢积表示法#

将速度矢积表达式左右两边对时间求导数。左端的导数为点$M$的加速度，而右端的导数为：

上式第一个矢积的模为：

此矢积垂直于由转轴$z$和转动半径$O_1M$决定的平面$OO_1M$，它的指向与图中自点$O$画出的矢量一致。可见，矢积$\alpha\times r$按大小和方向都与点$M$的切向加速度$a_t$相同。故有矢积表达式：

第二个矢积的模为：

此矢积同时垂直于刚体的转轴和点$M$的速度$v$，即沿点$M$的转动半径$R$，并且按照右手规则它是由点$M$指向轴心$O_1$。可见，矢积$\omega\times v$表示了点$M$的法向加速度$a_n$，即有矢积表达式：

附加证明：

对于固结在刚体上的动坐标系 $j's't'u'$ 的单位矢量 $\vec{f}'$（包括 $\vec{d}'$, $\vec{e}'$, $\vec{f}'$），它们在随体转动时相对空间（惯性系）$O$点的时间导数，依据理论力学的旋转矢量表达式，有：

$$\left. \frac{d\vec{f}'}{dt} \right|_O = \vec{\omega} \times \vec{f}'$$

这是因为坐标系自身随刚体一起以角速度$\vec{\omega}$绕$OZ$轴转动，单位矢量在空间中变化率等于$\vec{\omega}$和该单位矢量的叉乘。

同理，对于$\vec{d}'$, $\vec{e}'$也完全相同：

$$\left. \frac{d\vec{d}'}{dt} \right|_O = \vec{\omega} \times \vec{d}'\ \\ \left. \frac{d\vec{e}'}{dt} \right|_O = \vec{\omega} \times \vec{e}'$$

这证明了三组单位矢量在刚体角速度$\vec{\omega}$作用下的导数关系，即动坐标系单位矢量对时间的导数为$\vec{\omega} \times$它本身。