1、定义：线性空间#

设$V$ 是一个非空集合，$\mathbf{F}$ 是一个数域，我们定义两种运算，其中第一个运算是我们， 熟知的加法$+$。在线性空间的定义中，我们要求$\langle V:+\rangle$构成 Abel 群，即其中元素满足如下运算律：

1. （加法结合律）$\alpha + ( \beta + \gamma ) = ( \alpha + \beta ) + \gamma$, $\forall \alpha , \beta , \gamma \in V$

2. （加法单位元）$\exists0\in V$使得$\forall\alpha\in V$有$\alpha+0=0+\alpha=\alpha$

3. （逆元） $\forall \alpha \in V$，$\exists \beta \in V$，有$\alpha+\beta=\beta+\alpha=0$，记$\beta=-\alpha$

4. （交换律）$\forall \alpha , \beta \in V$， $\alpha + \beta = \beta + \alpha$

第二种运算和之前学习的其他代数结构不同，我们需要首先引人一个数域$\mathbf{F}$,接下来在$\mathbf{F}\times V$上定义取值于$V$的数乘运算，即$\mathbf{F}\times V$中的每个元素$(\lambda,\alpha)\mapsto\lambda\alpha\in V$, 并且数乘运算满足以下性质：$\forall \alpha , \beta \in V$, $\forall \lambda , \mu \in \mathbf{F}$以及$\mathbf{F}$上的乘法单位元 1,有

1. （数乘单位元）$1\cdot\alpha=\alpha$

2. （数乘结合律）$\lambda ( \mu \alpha ) = ( \lambda \mu ) \alpha$

3. （左分配律）$(\lambda+\mu)\alpha=\lambda\alpha+\mu\alpha$

4. （右分配律）$\lambda(\alpha+\beta)=\lambda\alpha+\lambda\beta$

2、定义：同构#

设$V(\mathbf{F})$和$W(\mathbf{F})$是数域$\mathbf{F}$上的线性空间，若映射$\varphi{:}V(\mathbf{F})\to W(\mathbf{F})$满足：

则称$\varphi$是从$V(\mathbf{F})$到$W(\mathbf{F})$的一个同态，若$\varphi$是双射，则称$\varphi$是从$V(\mathbf{F})$到$W(\mathbf{F})$ 的一个同构，若$\varphi$是从$V(\mathbf{F})$到$W(\mathbf{F})$的一个同构，则称线性空间$V(\mathbf{F})$和$W(\mathbf{F})$ 是同构的，记为$V(\mathbf{F})\cong W(\mathbf{F})$。

3、定义：线性子空间#

设$W$是线性空间$V(\mathbf{F})$的非空子集，如果$W$对$V$中的运算也构成域$\mathbf{F}$上的线性空间，则称$W$ 是$V$的线性子空间（简称子空间）。

4、定理：子空间判定的充要条件#

数域$\mathbf{F}$上的线性空间$V(\mathbf{F})$的非空子集$W$为$V$的子空间的充分必要条件是$W$对于$V(\mathbf{F})$ 的线性运算封闭。

5、定义：线性表示与线性扩张#

设$V(\mathbf{F})$是一个线性空间，$\alpha _i\in V$, $\lambda _i\in \mathbf{F} ( i= 1, 2, \ldots , m)$，则向量$\alpha=\lambda_1\alpha_1+$ $\lambda_{2}\alpha_{2}+\cdots+\lambda_{m}\alpha_{m}$称为向量组$\alpha_1,\alpha_{2},\ldots,\alpha_{m}$在域$\mathbf{F}$的线性组合，或说$\alpha$在域$\mathbf{F}$上可用向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性表示。

5、定义：线性扩张#

设$S$是线性空间$V(\mathbf{F})$的非空子集，我们称：

或：

为$S$的线性扩张，即$S$中所有有限子集在域$\mathbf{F}$上的一切线性组合组成的$V(\mathbf{F})$的子集。

6、定理：线性扩张与线性子空间关系#

线性空间$V(\mathbf{F})$的非空子集$S$的线性扩张$\operatorname{span}(S)$是$V$中包含$S$的最小子空间。

7、定义：线性相关与线性无关#

设$V(\mathbf{F})$是一个线性空间，$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\in V$，若存在不全为$0$的$\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_m\in\mathbf{F}$，使得：

成立，则称：$\alpha _1, \alpha _2, \ldots , \alpha _m$线性相关，否则称线性无关（即系数只能为$0$）。

8、定理：线性相关的等价表述#

1. 向量组线性相关$\Longleftrightarrow$它们有系数不全为$0$的线性组合等于零向量。
2. 向量组线性无关$\Longleftrightarrow$它们只有系数全为$0$的线性组合才会等于零向量。
3. 向量组线性相关$\Longleftrightarrow$其中至少有一个向量可以由其余向量线性表示。
4. 向量组线性无关$\Longleftrightarrow$其中每一个向量都不能由其余向量线性表示。

9、定理：线性相关判定的充要条件#

线性空间$V(\mathbf{F})$中的向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$ $(m\geqslant2)$线性相关的充分必要条件是$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$中有一个向量可由其余向量在域$\mathbf{F}$上线性表示。

10、定理：线性表示唯一性#

若向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性无关，而向量组$\beta,\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性相关，则$\beta$可由$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m$线性表示，且表示法唯一。

11、定义：极大线性无关组和秩#

设向量组$S=\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}$张成的线性空间为$V$,若存在$S$的一个线性无关向量组$B=\{\alpha_k1,\alpha_{k2},\ldots,\alpha_{kr}\}$,使得$V=\operatorname{span}(B)$，则称$B$为$S$的一个极大线性无关组，并称极大线性无关组的长度$r=r(S)$为$S$的秩。

12、定理：秩与线性相关的关系#

设$V(\mathbf{F})$中向量组$\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_s$的每个向量可由另一向量组$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r$线性表示。若$s>r$，则$\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{s}$线性相关。

13、定义：基与维数#

若线性空间$V(\mathbf{F})$的有限子集$B=\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}$线性无关，且 span$(B)=V$，称$B$为$V$的一组基，并称$n$为$V$的维数，记作$\dim V=n$。

14、定理：基的扩充#

如果$W$是$n$维线性空间$V$的一个子空间，则$W$的基可以扩充为$V$的基。

15、定义：有限维线性空间和无限维线性空间#

$V(\mathbf{F})$称为有限维线性空间，如果$V$中存在一个有限子集$S$使得$L(S)=V$，反之称为无限维线性空间。

16、定理：初等行变换不改变列的线性相关性#

如标题。

17、定义：向量的坐标#

设$B=\{\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n\}$是$n$维线性空间$V(\mathbf{F})$的一组基，如果$V$中元素$\alpha$表示为$\alpha=a_{1}\beta_{1}+a_{2}\beta_{2}+\cdots+a_{n}\beta_{n}$，则其系数组$a_1,a_{2},\ldots,a_{n}$称为$\alpha$在基$B$下的坐标， 记为$\alpha_B=(a_1,a_2,\ldots,a_n)$。

18、定理：替换定理#

设$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r$线性无关，且可以被$\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$线性表示，则可以将$\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$中的$r$个向量替换成$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_r$后得到与$\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_n$等价的新向量组。

1、定义：线性空间的交、并、和#

设$W_1,W_2$是线性空间$V(\mathbf{F})$的两个子空间，则：

分别称为$W_1$ 和$W_2$ 的交、并、和。

2、定理：线性空间和、交、并的性质#

设$W_1,W_2$是线性空间$V(\mathbf{F})$的两个子空间，则

1. $W_1\cap W_2$ 是$V$ 的子空间；
2. $W_{1}+ W_{2}$ 是$V$ 的子空间；
3. $W_1\cup W_2$ 为$V$的子空间 $\Longleftrightarrow W_1\subseteq W_2$ 或$W_2\subseteq W_1\Longleftrightarrow W_1\cup W_2=W_1+W_2$。

3、定理：覆盖定理#

设$V_1,V_2,\ldots,V_s$是数域$\mathbf{F}$上线性空间$V(\mathbf{F})$的$s$个非平凡子空间，$V$中至少存在一个向量不属于$V_1,V_2,\ldots,V_s$中的任何一个，即$V_1\cup V_2\cup\cdots\cup V_s\subsetneq V$。

4、定理：维数公式#

设$W_1,W_2$是线性空间$V(\mathbf{F})$的两个子空间，则$\dim W_{1}+\dim W_{2}=\dim(W_{1}+W_{2})+\dim(W_{1}\cap W_{2})$。

5、定义：线性空间的直和、补空间#

设$W_1,W_2$是线性空间$V(\mathbf{F})$的两个子空间。若$W_1\cap W_2=\{0\}$，则$W_1+W_2$叫做$W_1$与$W_2$的直和，记作$W_1\oplus W_2$。进一步地，若$V=W_1\oplus W_{2}$，则称$W_1,W_{2}$为互补子空间，或$W_1$是$W_2$的补空间，或$W_2$是$W_1$的补空间。

6、定理：直和的性质#

对于子空间$W_1,W_2$,下列命题等价：

1. $W_1+ W_2$是直和 ,即$W_1\cap W_2=\{0\}$
2. $W_1+ W_2$中的每个向量$\alpha$的分解式$\alpha = \alpha _1+ \alpha _2$ $( \alpha _1\in W_1$, $\alpha _2\in W_2)$唯一。
3. 零向量的分解式$\mathbf{0}=\alpha_1+\alpha_2$ $( \alpha _1\in W_1$, $\alpha _2\in W_2)$仅当$\alpha_1=\alpha_2=\mathbf{0}$时成立。
4. $\dim ( W_{1}+ W_{2}) = \dim W_{1}+ \dim W_{2}$

1、定义：线性映射#

从线性空间$V_1(\mathbf{F})$到$V_2(\mathbf{F})$的一个映射$\sigma$是线性的，如果$\forall\alpha,\beta\in V_1$和$\forall\lambda,\mu\in\mathbf{F}$ 都有：

从线性空间$V$到自身的线性映射$\sigma$也叫作$V$上的线性变换，在有的教材中也称为算子。从线性空间$V(\mathbf{F})$到域$\mathbf{F}$的线性映射$f$叫作$V$上的线性泛函（或称线性函数，线性形式）。为方便称呼，我们称对于$V_1(\mathbf{F})$到$V_2(\mathbf{F})$的线性映射$\sigma,V_1(\mathbf{F})$是其出发空间，$V_2(\mathbf{F})$是其到达空间，也可简记为$\sigma:V_1\to V_{2}$。

2、定理：零向量的线性映射#

设$\sigma$是线性空间$V_1(\mathbf{F})$到$V_2(\mathbf{F})$的线性映射，则$\sigma(0_1)=0_2$。

3、定理：线性相关的传递#

设$\sigma$是线性空间$V_1(\mathbf{F})$到$V_2(\mathbf{F})$的线性映射，如果$V_1$中向量$\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n$线性相关，则$\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_{2}),\ldots,\sigma(\alpha_{n})$ 也线性相关。反之，若$\sigma(\alpha_1),\sigma(\alpha_{2}),\ldots,\sigma(\alpha_{n})$线性无关，则$\alpha_1,\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}$必线性无关。

4、定义：线性映射的基本运算#

设$\sigma,\tau\in\mathcal{L}(V_1,V_2)$，规定$\sigma$与$\tau$之和及$\lambda$与$\sigma$的数乘$\lambda\sigma$分别为

以及线性映射的复合运算：

$\tau\sigma(\alpha)=\tau(\sigma(\alpha)),\:\forall\alpha\in V_{1}$

5、定理：线性映射构成线性空间#

$\mathcal{L}(V_1,V_2)$与上述定义的线性映射加法和数乘构成域$\mathbf{F}$上的线性空间。$\tau\sigma$是线性映射，逆映射$\sigma^{-1}$为线性映射。

6、定义：线性映射的像与核#

设$\sigma$是线性空间$V_1(\mathbf{F})$到$V_2(\mathbf{F})$的线性映射。$V_1$的所有元素在$\sigma$下的像组成的集合：

称为$\sigma$的像（或值域），记作$\mathrm{Im}\:\sigma$，或记作$\mathrm{range}\:\sigma。$ $V_{2}$的零元$0_2$在$\sigma$下的完全原像：

称为$\sigma$的核（或零空间），记作$\mathrm{Ker}\:\sigma$，或记作$\mathrm{Null}\:\sigma$。

7、定理：单射的判定#

线性映射$\sigma$是单射当且仅当$\mathrm{Ker}\:\sigma=\{0\}$。

8、定理：映射的唯一性#

1. 已知线性映射$\sigma,\tau\in\mathcal{L}(V_1,V_2)$，且有$V_1$的基$B=\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_n\}.$若$\sigma(\alpha_i)=\tau ( \alpha _{i})$, $\forall \alpha _{i}\in B$，则有$\sigma=\tau$。
2. 设$B=\{\alpha_{1},\alpha_{2},\ldots,\alpha_{n}\}$是$V_1$的基，$S=\{\beta_{1},\beta_{2},\ldots,\beta_{n}\}$是$V_{2}$中任意$n$个向量，则存在唯一的$\sigma\in\mathcal{L}(V_1,V_2)$使得$\sigma(\alpha_i)=\beta_i,~i=1,2,\ldots,n$。

9、定义：线性映射的秩#

设$\sigma\in\mathcal{L}(V_1,V_2)$,如果$\sigma(V_1)$是$V_2$的有限维子空间，则$\sigma(V_1)$的维数称为$\sigma$的秩记作$r(\sigma)$，即$r(\sigma)=\dim\sigma(V_{1})$。

10、定理：线性映射基本定理#

设$\sigma\in\mathcal{L}(V_1,V_2)$，若$\dim V_1=n$，则：

11、定理：线性映射基本定理推论#

对$\sigma\in\mathcal{L}(V_1,V_2)$且$\dim V_1=\dim V_2=n$,下列条件等价：

1. $\ker \sigma = \{ 0\}$

2. $\sigma$ 为单射

3. $\sigma$ 为满射

4. $\sigma$为双射（可逆）

5. $r( \sigma ) = n$

12、定义：线性空间的同构#

如果由线性空间$V_1(\mathbf{F})$到$V_2(\mathbf{F})$存在一个线性双射$\sigma$，则称$V_1(\mathbf{F})$和$V_2(\mathbf{F})$是同构的，记作$V_1(\mathbf{F})\cong V_2(\mathbf{F})$。$\sigma$称为$V_1(\mathbf{F})$到$V_2(\mathbf{F})$的一个同构映射。

13、定理：同构映射的秩不变#

设$\sigma$是$V_1$到$V_2$的同构映射，$S_1=\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}$是$V_1$的任意一组向量， $S_{2}=\{\sigma(\alpha_{1}),\sigma(\alpha_{2}),\ldots,\sigma(\alpha_{m})\}$,则$r(S_{1})=r(S_{2})$，即同构映射保持映射前后向量组秩不变。

14、定理：同构的等价条件#

两个线性空间$V_1(\mathbf{F})$和$V_2(\mathbf{F})$同构的充要条件是它们的维数相等。

1、定义：矩阵#

域$\mathbf{F}$中的$m\times n$个元素$a_{ij}$ $(i=1,\ldots,m,j=1,\ldots,n)$排成$m$行$n$列的矩形数表，称为域$\mathbf{F}$上的一个$m\times n$矩阵，记作：

或简记为$(a_{ij})_{m\times n}$,其中$a_{ij}$表示矩阵$A$的第$i$行第$j$列的元素。

2、定理：线性映射的矩阵表示#

任意的$\mathbf{F}^n\to\mathbf{F}^m$的线性映射$\sigma$都可以写成$\sigma(x)=Ax$的形式，其中$A$是一个$m\times n$ 的矩阵，并且符合要求的矩阵是唯一的。

3、定义：线性映射在基下的矩阵表示#

设$B_1=\{\varepsilon_1,\varepsilon_2,\ldots,\varepsilon_n\}$是$V_1(\mathbf{F})$的基，$B_2=\{\alpha_1,\alpha_2,\ldots,\alpha_m\}$是$V_2(\mathbf{F})$的基。则线性映射$\sigma\in\mathcal{L}(V_1,V_2)$被它作用于基$B_{1}$的像：

所唯一确定，而$\sigma(B_1)$是$V_2$的子空间，于是其中元素都可以被基$B_{2}$线性表示，即：

将$\sigma(B_{1})=\{\sigma(\varepsilon_{1}),\sigma(\varepsilon_{2}),\ldots,\sigma(\varepsilon_{n})\}$关于基$B_{2}$的坐标排列成矩阵$\mathbf{M}(\sigma)$，即：

称$\mathbf{M}(\sigma)$为$\sigma$在基$B_1$和$B_2$下的矩阵表示，有时也称线性映射在基下的表示矩阵。

4、定义：矩阵加法与数乘运算#

1. 加法：设 $A=(a_ij)_{m\times n},B=(b_{ij})_{m\times n}\in\mathbf{F}^{m\times n}$ 为矩阵，则定义： $$A+B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots&a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots&a_{2n}+b_{2n}\\\cdots\\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots&a_{mn}+b_{mn}\end{pmatrix}$$
2. 数乘：对$\lambda\in\mathbf{F}$，定义： $$\lambda A=\begin{pmatrix}\lambda a_{11}&\lambda a_{12}&\cdots&\lambda a_{1n}\\\lambda a_{21}&\lambda a_{22}&\cdots&\lambda a_{2n}\\\vdots&\vdots&\ddots&\vdots\\\lambda a_{m1}&\lambda a_{m2}&\cdots&\lambda a_{mn}\end{pmatrix}$$

5、定理：线性映射与矩阵的同构#

设$V_1,V_2$分别是$n$维和$m$维线性空间，则$\mathcal{L}(V_1,V_2)\cong\mathbf{F}^{m\times n}$是同构的。

6、定理：线性映射对向量坐标的影响#

设$\sigma\in\mathcal{L}(V_1,V_2)$关于$V_1$和$V_2$的基$B_1$和基$B_2$的矩阵为$A=(a_ij)_m\times n$，且$\alpha$与$\sigma(\alpha)$在基$B_1=(\alpha_1,\ldots,\alpha_n)$和$B_2=(\beta_1,\ldots,\beta_m)$下的坐标分别为$X$和$Y$，则$Y=AX$。

7、定义：矩阵乘法#

设$A=(a_ij)_{p\times m},B=(b_{ij})_{m\times n}$，我们定义$A$与$B$的乘积矩阵$C=AB=(c_ij)_{p\times n}$是一个$p\times n$矩阵，其中它的第$i$行第$j$列元素为矩阵$A$的第$i$行与矩阵$B$的第$j$列对应位置元素相乘后求和的结果，即：

8、定理：矩阵乘法的性质#

1. $( AB) C= A( BC)$（结合律）

2. $\lambda ( AB) = ( \lambda A) B= A( \lambda B) ,\lambda \in \mathbf{F}$

3. $A( B+ C) = AB+ AC$（左分配律）

4. $( B+ C) P= BP+ CP$（右分配律）

9、定义：矩阵的逆#

设$A\in\mathbf{M}_n(\mathbf{F})$。若存在$B\in\mathbf{M}_n(\mathbf{F})$使得$AB=BA=E_n$（不刻意强调时可以省略$n$），则称矩阵$A$可逆，并把$B$称为$A$的逆矩阵，记作$B=A^-1$，在一些比较经典的教材中可逆矩阵也被称为非奇异矩阵，不可逆矩阵被称为奇异矩阵

10、定理：逆矩阵的性质#

1. 可逆矩阵的逆矩阵唯一。
2. 主对角元都是非零数的对角矩阵一定可逆，且逆矩阵就是对角线上元素取倒数（单位矩阵即为特例，其逆矩阵是其自身）；
3. 注意没有加法性质（例如$A$可逆，则$-A$也可逆，但$A+(-A)=O$不可逆）。
4. 对于数乘有$(\lambda A)^-1=\lambda^{-1}A^{-1},( AB) ^{- 1}= B^{- 1}A^{- 1},( A_1A_2\cdots A_k) ^{- 1}= A_k^{- 1}\cdots A_2^{- 1}A_1^{-1}$
5. $( A^{k}) ^{- 1}= ( A^{- 1}) ^{k}$, $A^{k}A^{m}= A^{k+ m}$, $( A^{k}) ^{m}= A^{km}$注意这里的$k$和$m$不一定需要非负，事实上负数就是逆矩阵的幂次或幂次的逆，如$A^{-2}=(A^{-1})^2=(A^2)^{-1}$
6. 若$A$可逆，则消去律成立，即$AB=AC\Longrightarrow B=C$成立，若$A$可逆且$AB=O$ (或$BA=O)$可以推出$B=O$ (令$C=O$即可)。更进一步地，回忆在不可逆矩阵的情况下，即使$A\neq O$且$B\neq O$ ,我们也可能有$AB=O$，但当$A$（或$B$）可逆时， 根据前面的结论可知$B$ (或$A$）必然为零矩阵，因此不可能存在这样的情况。

11、定义：矩阵的转置#

设$A=(a_{ij})_{m\times n}$，则$A$的转置矩阵是一个$n\times m$矩阵，记作$A^\mathrm{T}$，它的第$k$行正好是$A$的第$k$列$(k=1,2,\ldots,n)$，它的第$r$列正好是$A$的第$r$行$(r=1,2,\ldots,m)$

12、定理：矩阵转置的性质#

1. $( A^{\mathrm{T} }) ^{\mathrm{T} }= A$

2. $( A+ B) ^{\mathrm{T} }= A^{\mathrm{T} }+ B^{\mathrm{T} }$

3. $( \lambda A) ^{\mathrm{T} }= \lambda A^{\mathrm{T} }$, $\lambda \in \mathbf{F}$

4. $( AB) ^{\mathrm{T} }= B^{\mathrm{T} }A^{\mathrm{T} }$, $( A_{1}A_{2}\cdots A_{n}) ^{\mathrm{T} }= A_{n}^{\mathrm{T} }\cdots A_{2}^{\mathrm{T} }A_{1}^{\mathrm{T} }$, $( A^{\mathrm{T} }) ^{m}= ( A^{m}) ^{\mathrm{T} }$

5. $( A^{\mathrm{T} }) ^{- 1}= ( A^{- 1}) ^{\mathrm{T} }$

13、定义：对称矩阵与反对称矩阵#

没$A=(a_{ij})_{n\times n}$，如果$\forall i,j\in\{1,2,\ldots,n\}$均有$a_ij=a_{ji}$，则称$A$为对称矩阵。若均有$a_{ij}=-a_{ji}$,则称$A$为反对称矩阵。

14、定理：对称矩阵与反对称矩阵的性质#

1. 反对称矩阵主对角元均为$0$

2. $AA^{\mathrm{T}}$和$A^{\mathrm{T}}A$均为对称矩阵

3. 设$A,B$为$n$阶对称和反对称矩阵，则$AB+BA$是反对称矩阵

4. 对称矩阵的乘积不一定对称

5. 可逆的对称(反对称)矩阵的逆矩阵也是对称（反对称）矩阵

15、定义：分块矩阵#

一般地，对于$m\times n$矩阵$A$,如果在行的方向分成$s$块，在列的方向分成$t$块，就得到$A$的一个$s\times t$分块矩阵，记作$A= ( A_{kl}) _{s\times t}$，其中$A_{kl}(k=1,\ldots,s,l=1,\ldots,t)$称为$A$的子块。

16、定理：分块矩阵的性质#

1. 分块矩阵的加法：设分块矩阵$A=(A_kl)_{s\times t},B=(B_{kl})_{s\times t}$.如果$A$与$B$对应的子块$A_{kl}$和$B_{kl}$都是同型矩阵，则：

   $$A+B=(A_{kl}+B_{kl})_{s\times t}$$

2. 分块矩阵的数乘：设分块矩阵$A=(A_{kl})_{s\times t},\lambda$是一个数，则：

   $$\lambda A=(\lambda A_{kl})_{s\times t}$$

3. 分块矩阵的乘法：设$A=(a_ij)_{m\times n},B=(b_{ij})_{n\times p}$,如果把$A,B$分别分块为$r\times s$和 $s\times t$分块矩阵，且$A$的列分块法与$B$的行分块法相同 (注意这些条件始终保证可乘 性成立），则：

其中$C$是$r\times t$分块矩阵，且$C_{kl}$与一般矩阵计算类似，即为$A$第$k$行块$B$的$l$列块对应元素相乘后相加，即：$C_{kl}= A_{k1}B_{1l}+ A_{k2}B_{2l}+ \cdots + A_{ks}B_{sl}$, $k= 1, \ldots , r$, $l= 1, \ldots , t$

4. 分块矩阵的转置：大、小矩阵都要转置，这是分块矩阵与普通矩阵的一大性质差异；即$s\times t$分块矩阵$A=\underset{\mathrm{T}}{\operatorname*{\operatorname*{\operatorname*{T}}}}(A_{kl})_{s\times t}$转置后$A^\mathrm{T}=(B_{lk})_{t\times s}$为$t\times s$分块矩阵，且$B_lk=A_{kl}^\mathrm{T}$。例如$\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}^{\mathrm{T}}=\begin{pmatrix}A_{11}^{\mathrm{T}}&A_{21}^{\mathrm{T}}\\A_{12}^{\mathrm{T}}&A_{22}^{\mathrm{T}}\end{pmatrix}$

1、定义：矩阵的秩#

由于$A$是$\mathbf{F}^n\to\mathbf{F}^m$的线性映射，定义秩$r(A)=\dim\operatorname{Im}A$。我们将矩阵$A$的所有行向量组成的秩称为$A$的行秩，常记为$r_\mathrm{r}$。所有列向量组成的向量组的秩称为$A$的列秩，常记为$r_c$。

2、定理：矩阵秩的性质#

任意矩阵$A=(a_{i,j})_{m\times n}$的秩$=$行秩$=$列秩。

3、定理：线性映射类型与其对应表示矩阵关系#

线性映射是单射当且仅当其矩阵表示为列满秩矩阵，线性映射是满射当且仅当其矩阵表示为行满秩矩阵。

4、定理：可逆矩阵与线性相关关系#

设$A\in\mathbf{M}_{n}(\mathbf{F})$，则下列命题等价：

1. $A$ 可逆

2. $r( A) = n$

3. $A$的$n$个行（列）向量线性无关

4. 齐次线性方程组$AX=0$只有零解